كيفية حساب محيط المثلث

• ذات صلة
• ما هو قانون محيط المربع
• ما هو محيط المستطيل ومساحته

المثلث

توجد العديد من الأشكال الهندسية التي درسها العلماء المختصين بعلم الرياضيات؛ كالمربع والمستطيل والدائرة والمثلث، ولكلّ منها خصائصه وقوانينه التي تحكمه، وسنعرفك في هذا المقال على إحدى تلك الأشكال الهندسية وهو المثلث، إذ يُعرف المثلث بأنه شكل هندسي يتألف من ثلاثة أضلاع مرتبطة ببعضها البعض وثلاثة زوايا داخلية، ومجموعها يساوي 180 درجة، وللمثلث خصائص عديدة وفيما يلي بعضها:^[١][٢]

• يطلق على زاوية المثلث اسم رأس المثلث، ومنه فإن للمثلث ثلاثة رؤوس.
• للمثلث ثلاثة جوانب، ويمكن اعتبار أيّ من هذه الجوانب قاعدة المثلث، إلا أنه في المثلث متساوي الساقين يُعد الضلع المختلف بالقياس هو قاعدة المثلث.
• ارتفاع المثلث، وهو الخط المستقيم الواصل عموديًا من قاعدة المثلث إلى النقطة المقابلة له، وللمثلث ثلاثة أقطار تتقاطع مع بعضها البعض في نقطة تسمى مركزالمثلث.
• الوسيط، وهو الخط الواصل من قمة الرأس إلى منتصف الجانب المقابل لها، وتتقاطع الخطوط الثلاثة الوسيطة في نقطة واحدة وتسمى النقطة المركزية للمثلث.
• محيط المثلث، وهو مجموع قياس أطوال أضلاعه.
• مساحة المثلث، وهو نصف طول القاعدة مضروبًا بالارتفاع.
• الزوايا الداخلية للمثلث، وهي الموجودة عند كلّ رأس فيه، ومجموعها 180 درجة.
• الزوايا الخارجية للمثلث، وهي الزاوية المحصورة بين ضلع وامتداد الضلع المجاور له، ومجموعها 360 درجة.
• الضلع الأقصر في المثلث يكون المقابل لأقل زاوية قياسًا.
• الضلع الأطول في المثلث يكون المقابل لأكبر زاوية قياسًا.

كيفية حساب محيط المثلث

يُعرف المحيط بأنه المسافة حول الشكل، ويُعرف محيط المثلث بأنه مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة، ويكتب بالصيغة الرياضية التالية: محيط المثلث= طول الضلع الأول+ طول الضلع الثاني+ طول الضلع الثالث، وفيما يلي أمثلة لتوضيح كيفية حساب محيط المثلث:^[٣]

• مثال 1: احسب محيط المثلث الذي فيه أطوال الأضلاع 5 سم، 4 سم، 2 سم؟
  • محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه← 5+ 4+ 2← 11 سم.
• مثال 2: احسب محيط المثلث الذي طول كلّ ضلع من أضلاعه الثلاثة 10 سم؟
  • محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه← 10+ 10+ 10← 30 سم.
• مثال 3: احسب طول الضلع الثالث في المثلث الذي محيطه 40 سم وطول كلّ ضلع من الضلعين الآخرين فيه 10 سم؟
  • محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه← 40= 10+ 10+ الضلع الثالث، ومنه: طول الضلع الثالث= 40- (10+ 10)= 20 سم.

قوانين أُخرى لحساب محيط المثلث

يمكن حساب المثلث بواسطة طرق وأنماط وقوانين معينة، ومن أبرزها:

قانون محيط المثلث متساوي الساقين

المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي فيه طول ضلعين متساويين وزاويتين متساويتين بالقياس، أما محيطه فيمكن حسابه وفقًا للصيغة الرياضية التالي: محيط المثلث متساوي الساقين= 2 × طول الضلع المتساوي+ طول الضلع المختلف، وفيما يأتي مثال على ذلك:^[٤]

• مثال: أوجد محيط المثلث متساوي الساقين الذي فيه طول الضلع المتساوي 9 سم وطول الضلع الآخر 6 سم؟
  • الحلّ: محيط المثلث متساوي الساقين= (2* 9)+ 6← (18)+ 6← 24 سم.

قانون محيط المثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع يعني أن جميع أطوال أضلاعه متساوية ومنه: محيط المثلث= طول الضلع الأول+ طول الضلع الثاني+ طول الضلع الثالث، ويعبر عنه أيضًا وفقًا لهذه الصيغة محيط المثلث متساوي الأضلاع= 3 × طول الضلع، وفيما يأتي مثال على ذلك:^[٥][٦]

• مثال: احسب محيط المثلث الذي طول كلّ ضلع من أضلاعه 5 سم؟
  • الحل: محيط المثلث= 5+ 5+5= 15، أو محيط المثلث= 3*5← 15 سم.

قانون محيط المثلث قائم الزاوية

يطلق على المثلث قائم الزاوية اسم المثلث الأيمن، وهنالك ثلاثة طرق لحساب محيطه وهي:^[٥][٦]

• إذا عُلم أطوال أضلاعه فإن محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.
• إذا عُلم طول ضلعين فقط يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث ثم إيجاد المحيط، والصيغة الرياضية لنظرية فيثاغورس هي: الوتر²= الضلع الأول²+ الضلع الثاني².
  • مثال: مثلث قائم الزاوية فيه طول الضلعين المجاورين للزاوية القائمة معلومين وقياسمها 3، 4 سم، احسب محيط المثلث؟
    • الحلّ: بالرجوع إلى نظرية فيثاغورس تستطيع إيجاد طول الضلع المفقود، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو الوتر، ويمكن حلّ هذا المثال بالاستعانة بهذا القانون: الوتر²= الضلع الأول²+ الضلع الثاني² ومنه: الوتر²= 3²+ 4²← الوتر²= 9+ 16= 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإن الوتر= 5 سم، وبعد إيجاد طول الوتر تستطيع حساب المحيط للمثلث بجمع أطوال أضلاعه الثلاثة وهو: محيط المثلث= 3+ 4+ 5 أيّ أن محيط المثلث= 12 سم.
• إذا عُلم طول ضلعين وقياس زاوية، يمكن استخدام النسب المثلثية لحساب طول الضلع الثالث ثم إيجاد المحيط، كما سيتم توضيح هذا لاحقًا.

قانون محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

ذكرنا أعلاه أن المثلث الذي فيه ضلعين متقابلين متساويين تتساوى فيه قياس الزاويتين المتقابلتين أيضاً، والمثال التالي يوضح كيفية حساب محيط مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين:^[٧]

• مثال: مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين قياسه 14 سم احسب محيطه؟
  • الحل: طول الضلع الثالث= 2√*طول الضلع ومنه، طول الضلع الثالث=2√* 14← 19.80 سم، والآن يمكن معرفة محيط المثلث وهو محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه← 14+14+19.80← 47.80 سم.

قانون محيط المثلث المعلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما

يمكن صياغة قانون محيط المثلث في هذه الحالة على الصيغة التالية: محيط مثلث معلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما= (الضلع الأول²+ الضلع الثاني² - 2*الضلع الأول* الضلع الثاني* جتا الزاوية)^0.5، وفيما يأتي مثال على ذلك:^[٨]

• مثال: احسب محيط مثلث أطوال أضلاعه 10 و12 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 60؟
  • الحل: بتطبيق قانون محيط مثلث معلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما= (الضلع الأول²+ الضلع الثاني² - 2*الضلع الأول* الضلع الثاني* جتا الزاوية)^0.5، فإن محيط المثلث = 10²+12²- 2×10×12×جتا 60، ومنه؛ محيط المثلث = 124 سم.

قانون محيط المثلث المعلوم منه زاويتين وضلع محصور بينهما

بالاستفادة من أن مجموع زوايا المثلث= 180 درجة، تستطيع حساب قياس الزاوية الثالثة ثم تطبيق قانون جيب الزاوية وهو؛ محيط المثلث= أ+ (أ/ جا (س+ص)) × (جاس+جاص)، إذ إن س وص: قياس الزوايا، وأ: الضلع المحصور بين الزاويتين، ومثال على ذلك ما يأتي:^[٩]

• مثال: احسب محيط مثلث فيه زاويتين 30 و60 وطول الضلع المحصور بينهما 10سم؟
  • الحل: وذلك بتطبيق القانون محيط المثلث= أ+ (أ/ جا (س+ص)) × (جاس+جاص))، ومنه؛ محيط المثلث = 10 +(10/ جا (30+60) × (جا 30 + جا 60))، ومنه فإن محيط المثلث = 23.66 سم.

أنواع المثلثات

وللمثلث ستة أنواع استنادًا إلى عدد الأضلاع المتساوية فيه وعدد الزوايا المتساوية، وهي:^[١]

• أنواع المثلث بناءً على عدد الأضلاع المتساوية: وهي كالتالي:
  • مثلث متساوي الأضلاع، أيّ جميع أطوال أضلاعه متساوية وزواياه الداخلية متساوية، وقياس كل منها 60 درجة.
  • مثلث متساوي الساقين، أيّ فيه ضلعين وزاويتين متساويتين بالقياس.
  • مثلث مختلف الأضلاع ولا توجد فيه أيّ أضلاع أو زوايا متساوية بالقياس.
• أنواع المثلث بناءً على عدد الزوايا المتساوية: وهي كالتالي:
  • مثلث حاد الزوايا، ويعني أن قياس كل زاوية فيه أقل من 90 درجة.
  • مثلث قائم الزاوية، ويعني أن فيه زاوية قائمة قياسها 90 درجة.
  • مثلث منفرج الزاوية، ويعني أن فيه زاوية واحدة قياسها أكثر من 90 درجة.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Triangles", mathsisfun, Retrieved 9-5-2020. Edited.
2. ↑ "Triangle", mathopenref, Retrieved 9-5-2020. Edited.
3. ↑ "Perimeter of Triangle", byjus, Retrieved 10-5-2020. Edited.
4. ↑ "Isosceles Triangle Perimeter Formula", byjus, Retrieved 10-5-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "How do you find the perimeter of a right triangle", varsitytutors, Retrieved 10-5-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} Grace Imson (14-11-2019), "How to Find the Perimeter of a Triangle"، wikihow, Retrieved 10-5-2020. Edited.
7. ↑ "How To Find The Perimeter Of A 45/45/90 Right Isosceles Triangle", varsitytutors, Retrieved 10-5-2020. Edited.
8. ↑ "Perimeter of Triangle Formula", toppr, Retrieved 10-5-2020. Edited.
9. ↑ "Perimeter of a Triangle Calculator", omnicalculator, Retrieved 19-5-2020.