طريقة حساب مساحة المثلث

طريقة حساب مساحة المثلث
طريقة حساب مساحة المثلث

علم المثلثات

يعرف المثلث على أنه أحد الأشكال الأساسية للهندسة ويتكون من مضلع ذي ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع (جوانب) مستقيمة يلتقي كل اثنين منها في نقطة التقاء واحدة،[١]ويعرف علم المثلثات على أنه فرع من الرياضيات يدرس العلاقات بين أضلاع المثلث وزواياه، ويوجد علم حساب المثلثات في جميع فروع علوم الهندسة، إذ يمكن تقسيم كل شكل مستقيم إلى مجموعة من المثلثات، وكذلك فإن علم المثلثات جزء لا يتجزأ من فروع أخرى من الرياضيات، ولا سيما الأعداد المعقدة والسلسلة اللانهائية واللوغاريتمات وحساب التفاضل والتكامل.

وكلمة علم المثلثات هي مشتقة من القرن السادس عشر من الكلمات اليونانية للمثلث trigōnon والقياس metron، وعلى الرغم من أن علم حساب المثلثات بدأ في اليونان خلال القرن الثالث قبل الميلاد، إلا أن بعض أهم المساهمات مثل حساب جيب الزاوية جاءت من العلماء في الهند في القرن الخامس الميلادي بسبب ضياع حسابات علماء اليونان القديمة، ووفقًا للعالم لفيكتور كاتز فقد طُوّر علم المثلثات بشكل أساسي من احتياجات علماء الفلك اليونانيين والهنود.[٢]


حساب مساحة المثلث

توجد العديد من الطرق لحساب مساحة المثلث، إذ توجد أربع طرق يمكنك من خلالها حساب مساحة المثلث، وهي:[٣]

حساب مساحة المثلث باستخدام القاعدة والارتفاع

يمكنك حساب مساحة المثلث إذا توفرت لك معلومات عن قاعدة المثلث وارتفاعه، إذ إن ارتفاعه هو الخط العمودي الذي ينطلق من قاعدة المثلث إلى رأس الزاوية المقابل للقاعدة، ويمكن اعتبار أي جانب من جوانب المثلث هو القاعدة بشرط أن يكون الارتفاع متعامدًا مع هذا الجانب، ونقصد هنا بمتعامد أي أنه يشكل زاوية مقدارها تسعين درجة مع القاعدة، وعليه تكون معادلة حساب مساحة المثلث المبنية على القاعدة والارتفاع مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع، وفيما يأتي بعض الأمثلة على حساب مساحة المثلث باستخدام القاعدة والارتفاع:[٣]

  • مثال 1: إذا كان لديك مثلث قاعدته تساوي 5 سم، وارتفاعه 3 سم، يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام معادلة حساب مساحة المثلث المبنية على القاعدة والارتفاع من خلال اتباع الخطوات الآتية:
    • استخدام المعادلة؛ مساحة المثلث تساوي = (1/2) × القاعدة × الارتفاع.
    • مساحة المثلث = (1/2) × 5 × 3.
    • مساحة المثلث = 7.5 سم2.
  • مثال 2: إذا كانت لديك مساحة مثلث تساوي 10 سم2، وكانت قاعدته تساوي 4 سم، يمكنك حساب مساحة المثلث من خلال اتباع الخطوات الآتية:
    • استخدام معادلة حساب مساحة المثلث المبنية على القاعدة والارتفاع؛ مساحة المثلث تساوي = (1/2) × القاعدة × الارتفاع.
    • 10 = (1/2) × 4 × الارتفاع .
    • 10 = 2 × الارتفاع.
    • الارتفاع = 10 / 2.
    • الارتفاع = 5 سم.

حساب مساحة المثلث باستخدام أضلاعه الثلاث

يمكنك حساب مساحة المثلث إذا توفرت لك معلومات عن أطوال أضلاع المثلث الثلاث جميعها، ولكن أولًا يجب عليك معرفة حساب محيط المثلث، ويعرف محيط المثلث على أنه مجموع أطوال أضلاع المثلث، وتعتمد معادلة حساب المثلث في هذه الحالة، على نصف المحيط، وإذا قمنا بافتراض أن الرمز (ن.م) يرمز لنصف محيط المثلث، فإن معادلة حساب المثلث هنا تكون مساحة المثلث =(ن.م × (ن.م - طول الضلع الأول) × (ن.م - طول الضلع الثاني) × (ن.م - طول الضلع الثالث))1/2، فإذا كان يوجد لديك مثلث، ضلعه الأول طوله 5 سم، وضلعه الثاني يساوي 4 سم، وضلعه الثالث يساوي 3 سم، يمكنك حساب مساحة هذا المثلث من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٣]

  • حساب محيط المثلث من خلال المعادلة؛ محيط المثلث = طول الضع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث.
  • محيط المثلث = 5+4+3.
  • محيط المثلث= 12 سم، وعليه يكون نصف محيط المثلث (ن.م) = 6 سم.
  • حساب مساحة المثلث حسب المعادلة؛ مساحة المثلث =(ن.م × (ن.م - طول الضلع الأول) × (ن.م - طول الضلع الثاني) × (ن.م - طول الضلع الثالث))1/2.
  • مساحة المثلث = (6 × (6 - 5) × (6 - 4) × (6 - 3))1/2.
  • مساحة المثلث = 6 سم2.

حساب مساحة المثلث باستخدام أحد أضلاعه

المثلث متساوي الأضلاع هو المثلث الذي تكون جميع أطوال أضلاعه الثلاث متساوية، ويمكن حساب مساحته باستخدام ضلع فقط أو باستخدام إحدى المعادلات السابقة، أو من خلال استخدام المعادلة؛ مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (طول أحد الأضلاع)2 × 1/2(3) / 4، فإذا كان يوجد لديك مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه يساوي 6 سم، يمكن حساب مساحته من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٣]

  • طبق المعادلة السابقة؛ مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (طول أحد الأضلاع)2 × 1/2(3) / 4.
  • مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (6)2 * (3)1/2 / 4.
  • مساحة المثلث متساوي الأضلاع = 15.59 سم2.

حساب مساحة المثلث باستخدام جيب تمام الزاوية

جيب الزاوية (Sin(θ هو أحد مفاهيم علم المثلثات، ويبين الجدول الآتي قيمة الجيب لمجموعة زوايا مختلفة:[٤]

مقدار الزاوية تمام الزاوية (Sin(θ
0 0
30 1/2
45 (الجذر التربيعي لرقم 2) / 2
60 (الجذر التربيعي لرقم 3) / 2
90 1

ويمكن لك حساب مساحة المثلث باستخدام جيب الزاوية وباستخدام طول الضلعين المشكلين لها، حسب المعادلة الآتية؛ مساحة المثلث تساوي = (طول الضلع الأول) × ( طول الضلع الثاني ) × (جيب الزاوية) / 2، فإذا كان زاوية θ مقدارها 123 درجة، وطول الضلعين المشكلين لهذه الزاوية 150 سم و231 سم على التوالي، يمكنك حساب مساحة المثلث من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٣]

  • استخدم المعادلة؛ مساحة المثلث = (طول الضلع الأول) × ( طول الضلع الثاني ) × جيب الزاوية / 2.
  • مساحة المثلث = (150) * (231 ) * (جتا 123) / 2.
  • مساحة المثلث = 14529.96 سم مربع.


أهمية المثلث قائم الزاوية في علم المثلثات

يُعد المثلث قائم الزاوية أكثر المثلثات شهرة وأكثرها إفادة في علم حساب المثلثات، وقد بنيت نظريات هامة عليه، مثل نظرية فيثاغورس،[٥]ويُرمز للزاوية القائمة ذات القياس 90 من خلال مربع صغير على الزاوية، في حين يُرمز لإحدى الزاويتين بالرمز θ، إذ يحتوي هذ المُثلث على ثلاثة أضلاع، وهي كالتالي:[٦]

  • الضلع المُجاور "Adjacent": وهو الضلع الذي بجانب الزاوية θ.
  • الضلع المُقابل "Opposite": وهو الضلع الذي يقُابل أو يُواجه الزاوية θ.
  • الوتر "Hypotenuse": وهو الضلع الأطول في المُثلث.


المراجع

  1. "Triangle", sciencedaily, Retrieved 11-21-2019. Edited.
  2. Robert Coolman (30-5-2015), "What Is Trigonometry?"، livescience, Retrieved 11-12-2019. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج wikiHow Staff (25-10-2019), "How to Calculate the Area of a Triangle"، wikihow, Retrieved 13-12-2019. Edited.
  4. "Trigonometrical Ratios Table", math-only-math, Retrieved 13-12-2019. Edited.
  5. "Right triangle", artofproblemsolving, Retrieved 13-12-2019. Edited.
  6. "trigonometry", mathsisfun, Retrieved 13-12-2019. Edited.

477 مشاهدة