حساب مساحة شبه المنحرف

• ذات صلة
• قانون شبه المنحرف
• خصائص شبه المنحرف

شبه المنحرف

قد يكون شكل شبه المنحرف غريبًا بعض الشيء بين الأشكال الهندسية، فالأشكال الرياضية المتعارف عليها هي المربع، والمستطيل، والمثلث وغيرها من الأشكال الهندسية المعروفة، لذلك لا بد من أن تعرف أنواعه وخصائصه وكيفية حساب مساحته، وبعد الانتهاء من قراءة هذا المقال قد يكون لديك الفضول لمحاولة اكتشاف بعض الأشياء من حولك تشبه في شكلها شبه المنحرف، ويعرَف شبه المنحرف رياضيًا على أنه شكل رباعي الأضلاع، له ضلعان متقابلان متوازيان يسميان بقاعدتي المنحرف، والضلعان الآخران يسميان بساقي شبه المنحرف ويتقاطعان في نقطة معينة.^[١]وبالتالي فإن شبه المنحرف يتميز بأنه:^[٢]

• سطح مستوٍ.
• مضلع؛ أضلاعه عبارة عن خطوط مستقيمة.
• شكل مغلق مجموع زواياه 360 درجة.
• رباعي؛ أي له أربعة أضلاع.

حساب مساحة شبه المنحرف

حساب مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين

كغيره من الأشكال الهندسية المغلقة، شبه المنحرف له مساحة يمكن حسابها حسب القاعدة الرياضية العامة التالية: مساحة شبه المنحرف = 2/1 × مجموع القاعدتين × الارتفاع، وبالرموز م =2/1 × (ق1 + ق2) × ع. إذ تمثل (م: مساحة شبه المنحرف، ق1، ق2: قواعد شبه المنحرف، ع: الارتفاع)، ولتوضيح القاعدة لنختبر المثال التالي:^[٣]

• مثال: ليكن لدينا شبه منحرف طول قاعدتيه 12، 8 سم وارتفاعه 3 سم، احسب مساحته.
  • الحل: لحساب مساحته نطبق القاعدة؛ م =2/1 × (ق1 + ق2) × ع، وبالتالي فإن م = 2/1 × (12 +8) × 3 = 30 سم².

حساب مساحة شبه المنحرف القائم

بما أن إحدى الساقين تكون عمودية على القاعدتين يمكن هنا اعتبار طول الساق هو الارتفاع وبذلك تكون الصيغة العامة لحساب مساحة شبه المنحرف القائم هي: مساحة شبه المنحرف = 2/1 × مجموع القاعدتين × طول الساق العمودي. وبالرموز؛ م = 2/1 × (ق1 + ق2) × ل، إذ إن م: مساحة شبه المنحرف، ق1، ق2: أطوال القاعدتين، ل: طول الساق العمودي، ولتوضيح كيفية حساب مساحته إليك المثال:^[٤]

• مثال: لدينا شبه منحرف فيه ق1 = 9 سم، ق2 = 5 سم، والساق العمودي لطوله 7 سم، احسب مساحته.
  • الحل: بتطبيق القانون: م = 2/1 × (ق1 + ق2) × ل، فإن م = 2/1 × (9+5) × 7 = 49 سم².

حساب ارتفاع شبه المنحرف

إن الارتفاع لأي شكل مضلع هو الخط العمودي الساقط من الزاوية العلوية إلى القاعدة المقابلة لها أو امتدادها، ويمكنك حساب الارتفاع لأنواع شبه المنحرف المختلفة من خلال القوانين:^[٥]

شبه المنحرف قائم الزاوية

شبه المنحرف قائم الزاوية تكون إحدى ساقيه عمودية على القاعدتين أو إحداهما؛ وبذلك يكون ارتفاع شبه المنحرف يساوي طول هذه الساق، وبالتالي فإن الارتفاع يحسب من خلال العلاقة التالية إذا كانت المساحة: الارتفاع (طول الساق العمودية) = 2 × المساحة/ مجموع القاعدتين، أو يمكن أن يكون طول الساق معطى ضمن السؤال، ولتوضيح ذلك إليك المثال:^[٤]

• مثال: لنفرض أن لدينا شبه منحرف س ص ع ل فيه: س ص = 14سم، ع ل=6 سم قاعدتا شبه المنحرف، ع ص =4 سم، ل س =5 سم ساقا شبه المنحرف، وليكن ع ص هو الساق العمودية في النقطة ص، وبذلك يكون ارتفاع شبه المنحرف هو طول الساق ع ص ويساوي 4 سم.

شبه المنحرف مختلف الأضلاع

هذا النوع من شبه المنحرف تكون أضلاعه مختلفة في الطول، ولحساب الارتفاع في هذا النوع لنفرض أن لدينا شبه منحرف أ ب ج د فيه: أ د و ج ب وهما قاعدتا شبه المنحرف، أ د هي القاعدة الأطول، ولحساب الارتفاع ارسم خطًا عموديًا من الزاوية ب يتقاطع مع القاعدة أ د في النقطة ن ليتنج المثلث ب أ ن، ويكون فيه الضلع ب ن هو الارتفاع، والساق أ ب هو الوتر؛ بذلك يكون الارتفاع =طول الساق × جيب تمام الزاوية ب أ ن، وبالرموز ب ن = أب * جتا ب أ ن إذ إن (ب ن): الارتفاع، (ب أ ن): الزاوية بين الضلعين ب أ ون أ، وهي الزاوية المقابلة لضلع الارتفاع، ويمكن توضيح ذلك من خلال المثال:^[٦]

• مثال: شبه منحرف طول إحده ساقيه 5 سم، والزاوية المقابلة للارتفاع بعد رسم المثلث قائم الزاوية تساوي 60، احسب ارتفاعه.
  • الحل: بتطبيق القانون؛ الارتفاع =طول الساق × جيب تمام الزاوية المقابلة للارتفاع؛ الارتفاع= 5 × جتا 60 = 5 × 0.5 = 2.5 سم.

شبه المنحرف متساوي الساقين

إن شبه المنحرف متساوي الساقين يكون طول ساقيه متساويًا، وبهذا يمكن حساب ارتفاع شبه المنحرف إذا كانت أطوال أضلاعه معلومة حسب القانون: الارتفاع = 1/2 × الجذر التربيعي (طول الساق² ×4 - ناتج طرح القاعدتين²) وبالرموز ع= 1/2 × الجذر التربيعي (4 × ل² - (ق1 - ق2)²). إذ أن ع: ارتفاع شبه المنحرف، ل: طول الساق، ق1: طول القاعدة الكبرى، ق2: طول القاعدة الصغرى. وفيما يأتي مثال لتوضيح ذلك:^[٧]

• مثال: ليكن لدينا شبه منحرف متساوي الساقين فيه طول القاعدتين يساوي 12، 7 سم على الترتيب وطول الساق يساوي 3 سم. احسب ارتفاعه؟
  • الحل: حسب القاعدة أعلاه يكون ع = 1/2 × الجذر التربيعي (4 × 3² - (12 -7)²) = 1.658 سم.

شبه المنحرف العام

لحساب الارتفاع لشبه المنحرف، لنفرض أن أ ب ج د شبه منحرف فيه أ ب هي القاعدة الأطول، وج د هي القاعدة الأقصر، أسقط خطًا عمودي ًامن الزاوية أ ليتقاطع مع امتداد القاعدة ج د في النقطة هـ مكونًا مثلثًا قائم الزاوية أ هـ د فيه الساق أ د هو وتر المثلث ويمكنك حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس، أما إذا كنت تعلم المساحة، فإنه يمكنك حسابه من القانون الأساسي لشبه المنحرف، وبالتالي فإن: الارتفاع= 2 × المساحة / (مجموع القاعدتين). وفيما يأتي مثال لتوضيح ذلك:^[٨]

• مثال: شبه منحرف مساحته تساوي 10 سم²، ومجموع قاعدتيه يساوي 4 سم، احسب ارتفاعه.
  • الحل: بتطبيق القاعدة: الارتفاع= 2 × المساحة / (مجموع القاعدتين)، فإن الارتفاع= 2 × 10 / 4 = 5 سم.

حقائق ممتعة عن شبه المنحرف

توجد بعض الحقائق الممتعة عن شبه المنحرف إذا أردت معرفتها فاقرأ:^[٢][٩]

• يمكنك رسم خط وسط لأي شبه منحرف؛ وخط الوسط هو القطعة المستقيمة التي تنصف المسافة بين القاعدتين.
• بعض الرياضيين يعدون متوازي الأضلاع حالة خاصة من شبه المنحرف؛ وذلك لأن شبه المنحرف يحتوي على زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتقابلة والمتوازية.
• كل ما تحتاجه للحصول على شكل شبه منحرف هو مثلث؛ ثم قص أحد رؤوسه لينتج لديك شكل شبه منحرف.

مَعْلومَة

يمكنك تصنيف شبه المنحرف إلى عدة أنواع حسب زواياه، وأطوال أضلاعه، وهي:^[٢]

• شبه المنحرف مختلف الأضلاع: تكون أطوال اضلاعه مختلفة, القاعدتين متوازيتين ولكن بأطوال مختلفة, والساقين غير متساويين في الطول.
• شبه المنحرف متساوي الساقين: كما هو واضح من تسميته، تكون أطوال الساقين متساوية.
• شبه المنحرف قائم الزاوية: تكون إحد الساقين عمودية على القاعدتين.
• شبه المنحرف المنفرج: تكون إحدى زواياه الداخلية (التقاء إحدى الساقين مع إحدى القاعدتين) زاوية منفرجة قياسها أكبر من 90 درجة .
• شبه المنحرف الحاد: تكون زوايتاه الداخليتان الناتجة من التقاء الساقين مع القاعدة الأكبر حادة وقياسها أقل من 90 درجة.

المراجع

1. ↑ "Definition of Trapezoid", mathisfun.com, Retrieved 2020-6-15. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "What Is a Trapezoid? (Definition & Properties) ", tutors.com, Retrieved 2020-6-15. Edited.
3. ↑ "Area of a trapezoid", mathopenref, Retrieved 2020-6-15. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Area of a Trapezoid", mathgoodies, Retrieved 2020-6-16. Edited.
5. ↑ "Height of Polygon", superprof, Retrieved 2020-6-16. Edited.
6. ↑ "Solve a Trapezoid Given its Bases and Legs", analyzemath, Retrieved 2020-6-15. Edited.
7. ↑ "Isosceles Trapezoid Calculator", rechneronline, Retrieved 2020-6-17. Edited.
8. ↑ "How to Find the Height of a Trapezoid", sciencing, Retrieved 28-6-2020. Edited.
9. ↑ "Isosceles Trapezoid: Definition, Properties & Formula", study, Retrieved 2020-6-16. Edited.