خواص اللوغاريتم

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٤:٢٠ ، ٢٩ مارس ٢٠٢٠
خواص اللوغاريتم

اللوغاريتمات

يواجه العديد من طلاب المدارس الثانوية والجامعات العديد من المشاكل في استخدام اللوغاريتمات، إذ إنهم يحفظون في كثير من الأحيان القواعد دون فهمها تمامًا، كما أنهم أحيانًا يتمكنون من النجاح في الامتحان دون فهمها، ولكن سرعان ما يعاودون الرجوع إليها في دورة أخرى وبمستوى أكثر صعوبة وتطورًا، وفي هذه المرة قد لا يحالفهم الحظ فيفشلون في الدورة لأنهم لم يفهموا الأساسيات الخاصة باللوغاريتمات.[١]

تُعرف اللوغاريتمات بأنها الدالة العكسية للدوال الأسية، إذ إنها طريقة أخرى للتفكير في الأسس، فعلى سبيل المثال، فإن الرقم 2 عندما يكون مرفوعًا إلى الأس 4 ينتج في النهاية الرقم 16، ويُعبر عن ذلك باستخدام معادلة أسية يكون جوابها الرقم 16، وفقًا لما يأتي؛ 24=16، وعكس ذلك ما يحدث في اللوغاريتمات، فعند السؤال عن القوة التي رُفع إليها الرقم 2، ليكن الناتج 16، فهنا يجب استخدام اللوغاريتمات، إذ تستخدم المعادلة اللوغاريتمية التالية؛ لو2(16)= 4، وبطبيعة الحال، فإن كلا المعادلتين تصفان العلاقة نفسها بين الأرقام 2، و4، و16، إذ إن الرقم 2 هو الأساس والرقم 4 هو الأس، والفارق الوحيد بأن إجابة المعادلة الأسية تكون 16؛ والتي تكون ناتجًا لضرب العدد 2 بنفسه 4 مرات، إذ إن إجابة المعادلة اللوغاريتمية هو الرقم 4، والذي يمثل عدد المرات التي يجب أن يُضرب بها الرقم 2 بنفسه ليكون الناتج 16.[٢]


خصائص اللوغاريتمات

اعتمد العلماء اللوغاريتمات نظرًا لوجود العديد من الخصائص المفيدة التي سهلت من إجراء الحسابات الطويلة والمملة، إذ يمكن تبسيط حساب الأسس والجذور باستخدام اللوغاريتمات، ويمكن أيضًا تحويل اللوغاريتمات بين الأساسات الموجبة، وغيرها من العمليات الحسابية المهمة، ومن أهم خصائص اللوغاريتمات ما يأتي:[٣]

  • الضرب: يُعبر عن هذه العلاقة من خلال اللوغاريتمات الشائعة عن طريق المعادلة؛ لو س ص= لو س+ لو ص، فعلى سبيل المثال، يمكن حساب لو (100× 1000) من خلال تحويل عملية الضرب إلى عملية جمع من خلال المعادلة التالية؛ لو (100× 1000)= لو 100 + لو 1000، ومن ثم إيجاد لوغاريتم العدد 100 والذي يساوي 2، ولوغاريتم العدد 1000 والذي يساوي 3، ومن ثم جمع النواتج معًا، وبالتالي فإن لو (100× 1000)= لو 100 + لو 1000= 2+3 والذي سيساوي العدد 5.
  • القسمة: يُمكن حل مسائل القسمة في اللوغاريتمات من خلال تحويل مسائل القسمة إلى مسائل طرح بنفس الطريقة، فعلى سبيل المثال؛ فإن لو (س/ص)= لو س - لو ص، إذ حولنا القسمة إلى طرح من خلال المعادلة السابقة، وبعد ذلك نجد قيمة كل لوغاريتم على حدة، ومن ثم نجد ناتج الطرح الذي سيعطي ناتج لو (س/ص)، إلا أنه يجب التركيز على أن أساس اللوغاريتم نفسه في جميع الحالات.
  • الأسس: فعلى سبيل المثال؛ يمكن حل المعادلة التالية؛ لو س2، من خلال ضرب اللوغاريتم بالعدد الذي رُفع إليه العدد الموجود داخل اللوغاريتم، ومن ثم إيجاد الناتج النهائي، فتصبح المعادلة على الشكل التالي؛ لو س2= 2 × لوس.
  • لوغارتم الرقم 1: يكون ناتج لوغاريتم الرقم 1 لأي أساس هو 0؛ لو 1= 0.
  • لوغارتم الأساس نفسه: يكون ناتج اللوغاريتم للأساس نفسه هو العدد 1، إذ إن لو س س= 1.


اللوغاريتمات الطبيعية

يعرف اللوغاريتم الطبيعي بأنه الدالة العكسية للمعادلة س هـ؛ إذ تُعرف هـ بالمعامل النيبيري، ويُستخدم اللوغاريتم الطبيعي في العديد من المسائل العملية المتعلقة بالاقتصاد، إذ يمكن من خلال اللوغاريتم الطبيعي حساب الوقت اللازم للوصول إلى مرحلة معينة من النمو الاقتصادي، فعلى سبيل المثال؛ إذا كان لدى أحدهم استثمار بمعدل فائدة 100% سنويًا يزداد باستمرار، فإنه يمكنه حساب الزيادة السنوية لتلك الأرباح من خلال استخدام اللوغاريتم الطبيعي، إذ إن عليه الانتظار بمقدار لوهـ 10، والتي تُعادل 2.302 سنة، وبذلك يكون هـ س هو القيمة التي نحصل عليها عند البدء من السنة الأولى حتى الوصول إلى س، واللوغاريتم الطبيعي للأساس س هو الوقت الذي نحتاجه للوصول إلى المبلغ، وتتميز اللوغاريتمات الطبيعية بأن لها نفس خصائص اللوغاريتمات العشرية أو اللوغاريتمات عامةً.[٤]


تاريخ اللوغاريتمات

اخترعت اللوغاريتمات من قبل الاسكتلندي جون نابير، والسويسري جوست بورغي، إلا أن اللوغاريتمات التي اخترعها كلٌ منهم تختلف عن الأخرى، كما أنها تختلف عن اللوغاريتمات الشائعة والمستخدمة في الوقت الحالي، وقد نُشرت لوغاريتمات نابيير في عام 1614م، ثم بعدها بفترة بسيطة نُشرت لوغاريتمات بورغي في عام 1620م، وقد كان هدفهما تبسيط الحسابات الرياضية، ولكن كان نهج نابيير جبريًا، بينما نهج بورغي كان هندسيًا، إذ لم يكن لديهم أي مفهوم لقاعدة لوغاريتمية، فقد عرّف نابيير اللوغاريتمات وفقًا للتخطيط الهندسي والبياني الخاص بها، على عكس التعريف الحالي للوغاريتمات؛ والذي يدل على أنها دالة عكسية للدالة الأسية، وتعود احتمالية تعريف اللوغاريتمات بهذه الطريقة إلى كل من؛ جون واليس في عام 1685م، ويوهان برنولي عام 1694م.

ويعود اكتشاف النظام الحالي الشائع من اللوغاريتمات إلى الجهد الذي بذله كل من؛ نابير وهنري بريغز عام 1624م، إذ عدل نابيير نموذجه الأولي للوغاريتمات، وبعد ذلك نشأت اللوغاريتمات الطبيعية لأول مرة مع وجود اختلافات عرضية مع نموذج نابير الأولي للوغاريتمات، ولم يُتعرف على أهميتها الحقيقية حتى وقت لاحق، إذ اكتشفت أول اللوغاريتمات الطبيعية في عام 1618م.[١]

وقد مُثلت اللوغاريتمات وتغيرت حتى وقتنا الحالي بعدة طرق، فبالرغم من أن اللوغاريتمات أداة لتسهيل الحساب في المقام الأول، إلا أنها كانت واحدة من الأفكار الهامة التي وجهت انتباه علماء الرياضيات والجبر نحو مفاهيم تنظيمية أوسع، ولكن مفهوم اللوغاريتم كما نفهمه اليوم كدالة يختلف تمامًا في العديد من النواحي عن طريقة تصوره في الأصل، وفي نهاية المطاف تطور علم اللوغاريتمات من خلال عمل وتحليل علماء الرياضيات، وأصبح أكثر من مجرد وسيلة مفيدة لحساب أعداد كبيرة غير عملية، بل أصبح علاقة رياضية وظيفية في حد ذاتها، كما أصبح له وجود في الكثير من فروع الرياضيات الحديثة؛ كالاقترانات، وحساب التفاضل والتكامل، كما يمكن اعتبار اللوغاريتمات الحجر الأساس لمقياس ريختر ومقياس الرقم الهيدروجيني، وتمييز الفواصل الموسيقية، وغالبًا ما تستخدمه أجهزة الحاسوب لتقريب بعض العمليات التي ستكون مستهلكة للغاية لطاقة الحاسوب، وتبسيطها للتقييم المباشر.[٥]


أنواع اللوغاريتمات

اللوغاريتمات تقسم إلى خمسة أقسام:[٦]

  • لوغاريتمات ثنائية: يستخدم هذا النوع من اللوغاريتمات العدد 2.
  • لوغاريتمات عشرية: يستخدم هذا النوع من اللوغاريتمات العدد 10.
  • لوغاريتمات طبيعية: يستخدم هذا النوع من اللوغاريتمات العدد 2.72، وهذا يسمى بالعدد النيبيري.
  • لوغاريتمات مركبة: يستخدم هذا النوع من اللوغاريتمات أعدادًا مركبة.


فوائد اللوغاريتمات

تُستخدم اللوغاريتمات في العديد من المفاهيم الخاصة بالإحصاء والكيمياء والفيزياء والأحياء، وذلك لحل مختلف المشاكل الموجودة، إذ استخدم علماء الرياضيات اللوغاريتمات قديمًا لحل مشكلات ومسائل الضرب والقسمة عن طريق تحويلها لمسائل بسيطة من طرح وجمع، وكان ذلك قبل اختراع الآلة الحاسبة، أما في الوقت الحالي فتُستخدم اللوغاريتمات في علم الرياضيات والجبر لحل المعادلات الأسية والأرقام الكبيرة جدًا، ومن التطبيقات الأخرى التي يُستخدم فيها علم اللوغاريتمات ما يأتي:[٧]

  • يُستخدم لتقدير وتحليل البيانات لحساب مدى حجم الزلازل.
  • يُستخدم من قبل الجيولوجيين في مقياس ريختر.
  • يُستخدم لقياس تغير نسبة ثاني أكسيد الكربون في غلاف الأتموسفير.
  • يُستخدم في تقدير تأريخ المواد المشعة والترسبات.
  • يُستخدم لقياس الرقم الهيدروجيني في الأوساط المختلفة.


المراجع

  1. ^ أ ب " A REVIEW OF LOGARITHMS", sosmath, Retrieved 10-12-2019. Edited.
  2. "Intro to Logarithms", khanacademy, Retrieved 10-12-2019. Edited.
  3. Francis J. Murray, "Logarithm"، britannica, Retrieved 10-12-2019. Edited.
  4. "(Demystifying the Natural Logarithm (ln", betterexplained, Retrieved 10-12-2019. Edited.
  5. Kathleen M. Clark, Clemency Montelle، "Logarithms: The Early History of a Familiar Function - Conclusion"، maa, Retrieved 10-12-2019. Edited.
  6. "لوغاريتم الأساس والتعريف"، mdar، اطّلع عليه بتاريخ 1-8-2019. بتصرّف.
  7. "What Are Logarithms? When Do We Use Them?", mathworksheetscenter, Retrieved 10-12-2019. Edited.