خواص القيمة المطلقة

• ذات صلة
• خواص اللوغاريتم
• خصائص الضرب

خصائص القيمة المطلقة

للقيمة المطلقة عدة خصائص مهمة تظهر عند استخدامها وإجراء الحسابات المختلفة اعتمادًا عليها، وهي كالآتي:^[١]

• لا تكون القيمة المطلقة سالبة: تعد هذه الخاصية من أهم خواص القيمة المُطلقة، أيّ أن قيمها دائمًا تكون موجبة ومقدارها أكبر من الصفر أو يُساويه، | أ | ≥0.
• تحافظ على القيمة العددية نفسها: ويُقصد بها بأن قيمة العنصر المُطلق تُساويه، يعني إذا كانت القيمة المطلقة للعنصر أ تُساوي صفر، فإن أ تُساوي صفر، | أ | = 0 فإن أ = 0.
• التوزيع: ويُقصد بها أن القيمة المطلقة تتوزع في العمليات الحسابية، فمثلًا لو أردت أن تجد القيمة المطلقة لحاصل ضرب "أ" × "ب"، فإن الناتج هو نفسه للعملية الحسابية "القيمة المطلقة للقيمة أ في القيمة المطلقة ل ب"، | أب | = | أ || ب |.
• الفرعية: وهي تُوضح العلاقة بين ناتج العمليات الحسابية في حال كانت القيمة المطلقة للعملية الحسابية ككل؛ فإن ناتجها أقل أو يساوي من نفس العملية الحسابية في حال كانت القيمة المطلقة لكل عنصر، لأن توزيع القيمة المطلقة في عمليات الجمع والطرح يضمن إزالة إشارة السالب عنها، فيعطيها قيمة أعلى، | أ + ب | ≤ | أ | + | ب |.

• التساوي: أيّ أنّ القيمة المطلقة لا تتغير عند ضربها بنفسها، فالقيمة المطلقة للقيمة المطلقة هي القيمة المطلقة، || أ || = | أ |.
• التناظرية: وهي ببساطة أن القيمة المطلقة لعنصر ما تساوي القيمة المطلقة لنفس العنصر عندما يكون موجب، فلو كانت قيمته موجبة تبقى على ما هي عليه، ولو كانت قيمته سالبة فإن القيمة المطلقة له هي قيمته المطلقة في الموجب، | −أ | = | أ |.

• الإستدلالية: وهي إحدى الخواص التي تعتمد على بقاء خاصية القيمة العددية كما هي، ففي حال كانت القيمة المطلقة للفارق بين عنصرين تساوي صفر، فهذا يعني بأن للعنصرين نفس القيمة، | أ − ب | = 0، فإن أ = ب.
• متباينة المثلث: وهي خاصية تعتمد على تعددية القيمة المطلقة وعلى فكرة أن أضلاع المثلث غير متساوية، وتستخدم هذه النقاط لإيجاد قيمة ثلاثة عناصر مختلفة، |أ − ب | ≤ | أ − ج | + | ج − ب |.
• خاصية توزيع القسمة: مثل الخاصية السابقة التي توضح توزيع الضرب للقيمة المطلقة، فإن ناتج القيمة المطلقة لقسمة عنصرين على بعضهما، يُساوي ناتج قسمة القيمة المطلقة للعنصر الأول على القيمة المطلقة للعنصر الثاني، في حال كان المقام "المقسوم عليه" لا يُساوي صفرًا، | أ / ب | = | أ | / | ب | إذا ب ≠ 0

ما هي القيمة المطلقة؟

يختلف مفهوم القيمة المُطلقة وتتنوع استخداماتها، إلّا أنها لا تُستخدم بشكل مباشر في التطبيقات اليومية، ولكن يُمكننا القول أن القيمة المطلقة لرقم ما هي المسافة التي تفصله عن الرقم على خط الأعداد، وفيما يلي سنوضح لك الصورة على خط الأعداد التالي:[٢]

القيمة المطلقة للعنصر أ، يُشار إليها بـ "| أ |" (والتي تُقرأ على أنها "القيمة المطلقة لـ أ") ، وهي مسافة أ من صفر، لذا فإن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا؛ لأنها تُشير على مدى بعد نقطة ما "مسافة"، ولا تهتم بالاتجاه، ففي خط الأعداد أعلاه، تمثل النقطة الزرقاء قيمتي الرقم "3" الموجبة والسالبة، و| 3 | = 3 ، لأن 3 الرقم  يبعد ثلاث وحدات عن الرقم "صفر" من جهة اليمين، وأيضًا | –3 | = 3 ، لأن الرقم –3 يبعد ثلاث وحدات عن الرقم "صفر" من جهة اليسار. وبالتالي فإن: القيمة المطلقة (-3) = القيمة المطلقة (3) = 3.^[٢]

اقتران القيمة المطلقة

اقتران القيمة المطلقة "Absolute Value Function"  يُرمز له بالحرف (F)، فيعبر عن دالة أو اقتران العنصر X، كاللآتي: F(X)، أمّا اقتران القيمة المطلقة لنفس العنصر فتكون، |f(x)=|x، واقتران القيمة المطلقة يؤدي نفس وظيفة القيمة المطلقة وهي أنّه يجعل من قيمة العنصر إيجابية بغض النظر عن حالته الأولى، لا يُغيّر على قيمة العنصر نفسه بل يجد مشتقته وهو في حالة موجبة، فلو كانت قيمة العنصر السابق x تُساوي -4، فإن اقتران القيمة المطلقة له يُساوي اقتران القيمة المطلقة للرقم 4 الموجب، f(-4) =|-4|=4، أيّ أن كل ما عليّك فعله لحل مسائل اقتران القيمة المطلقة هو أن تعوّض العنصر بقيمته المطلقة داخل الاقتران ليُصبح موجبًا، حينها وإذا مثّلته بيانيًا، فإن قيّم الإقتران المختلفة ستُشكّل منحنى بياني  (v)، ويمتاز منحنى اقتران القيمة المطلقة بالخصائص التالية:[٣]

• يضم مجال الإقتران كافة الأعداد الحقيقية.
• مدى إقتران القيمة المطلقة، لا يضم سوى الأعداد الحقيقية الموجبة والصفر، أيّ أن مداه لا يمكن أن يكون سالبًا على عكس مجاله.
• منحناه البياني على شكل الحرف (v)، يقع بأكمله في المجال الموجب من محور الصادات، أيّ أنه فوق محور السينات.
• الرسم البياني لإقتران القيمة المطلقة، يُعتبر متناظرًا بالنسبة لمحور الصادات (Y).

ويوضّح الرسم البياني الآتي، الشكل الديكارتي لتمثيل اقتران القيمة المطلقة:^[٣]

قد يُهِمُّكَ: أمثلة على القيمة المطلقة

فيما يلي مجموعة من الأمثلة الحسابية على القيمة المطلقة المباشرة أو البسيطة:^[٤]

• احسب | 3.5 | - | -2.5 | .∣3.5∣ − ∣ − 2.5∣.
  • الحل: | 3.5 | - | -2.5 | = 3.5 -2.5 = 1
• احسب: |π - 2| + |π - 3| + |2π - 7|
  • الحل: قيمة كل من  π – 2، و  π − 3 موجبة، لذا لن يتم تغيير أّي شيء على قيمة كلا الحدين بفعل القيمة المطلقة، ولكن  2 π −7، تعطي قيمة سالبة، فسنترك أقواس القيمة المطلقة مكانها، فيكون حل المسألة: ∣π−2∣+∣π−3∣+∣2π−7∣=(π−2)+(π−3)+(7−2π)=2
• أوجد قيمة: ∣5×6∣
  • الحل: ∣5×6∣=∣30∣=30

المراجع

1. ↑ "ABSOLUTE VALUE", davenport.libguides, Retrieved 12/1/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Absolute Value", purplemath, Retrieved 12/1/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Absolute Value Function: Definition & Examples", study, Retrieved 12/1/2021. Edited.
4. ↑ Nihar Mahajan, Andrew Ellinor, and others, "Absolute Value", brilliant, Retrieved 12/1/2021. Edited.