طريقة ضرب الاعداد الكبيرة

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٨:١٨ ، ١٢ يناير ٢٠٢٠
طريقة ضرب الاعداد الكبيرة

الضرب في الرياضيات

منذ قرابة ألف عام ابتكر البابليون طريقة الضرب في الرياضيات، وبعدها تعددت طرق الضرب حتى وصل العلماء إلى الطريقة المثلى لضرب الأعداد في الرياضيات المتبعة في عصرنا الحالي، وتوجد العديد من طرق الضرب في الرياضيات، ولعل أشهرها التي نتعلمها في المدارس و تحتاج إلى عدد عمليات كبيرة نسبيًا، فمثلًا إذا كنت تريد ضرب عددين كل منهما مكوّن من رقمين، فإنك ستحتاج إلى إجراء أربع عمليات ضرب أصغر، إذ تسمى هذه الطريقة بطريقة الحمل، ويبلغ عدد عمليات الضرب الأصغر في هذه الطريقة إذ n؛ هو عدد الأرقام لكل عدد من الأعداد التي تضربها، وعليه إذا أردت ضرب عددين كل منهما يتكون من 3 أرقام، فإنك ستحتاج إلى تسع عمليات ضرب أصغر، وعليه فإن هذه الطريقة لن تكون مجدية إذا كانت الأرقام المضروبة كبيرة، فمثلًا إذا كنت تود ضرب رقمين كل منهما يتكون من 100 رقم فإنك ستحتاج إلى 10000 عملية ضرب أصغر، وإذا أردت ضرب رقمين كل منهما يتكون من مليار رقم باتباع طريقة الحمل، فإن أحدث أجهزة الكمبيوتر سيحتاج إلى 30 عامًا حتى يحلها باتباع طريقة الحمل، إذن عملية الحمل تناسب للأرقام الصغيرة ولا تناسب الأرقام الكبيرة.[١]


طريقة ضرب الاعداد الكبيرة

توجد العديد من الطرق التي يمكن من خلالها حساب ناتج ضرب الأعداد الكبيرة، ومن أهمها:

طريقة كاراتسوبا

تتضمن طريقة كاراتسوبا Karatsuba تفكيك الأعداد ومن ثم إعادة تجميعها بطريقة تتيح المزيد من الوقت اللازم لعملية الضرب، ولحساب نتيجة ضرب الرقمين 25 و36 باستخدام طريقة Karatsuba، اتبع الخطوات التالية:[١]

  • اقسم العدد 25 إلى رقمين وهما 5 و2.
  • اقسم العدد 63 إلى رقمين وهما 3 و6.
  • اضرب الرقم 2 بالرقم 6 ويكون الناتج = 12.
  • اضرب الرقم 5 بالرقم 3 ويكون الناتج = 15.
  • اجمع الجزأين المكونين للعدد 25 وهما الرقمين 5 و2 ويكون ناتج جمعهما = 7.
  • اجمع الجزأين المكونين للرقم 63 وهما الرقمين 3 و6 ويكون ناتج جمعها = 9.
  • اضرب ناتج جمع جزأي الرقم الأول بناتج جمع جزأي الرقم الثاني = 7*9 = 63.
  • الآن اطرح الرقمين الناتجين من الخطوة الثالثة والرابعة من الرقم الناتج من الخطوة السابعة = 63-15-12 = 36.
  • خذ الرقم الناتج من الخطوة الثالثة وضع على يمينه صفرين ليصبح 1200.
  • خذ الرقم الناتج من الخطوة الثامنة وضع على يمينه صفر ليصبح 360.
  • اجمع الرقم الناتج من الخطوة التاسعة مع الرقم الناتج من الخطوة العاشرة مع الرقم الناتج من الخطوة الرابعة = 1200+360+15=1575، وعليه يكون ناتج ضرب الرقمين 25 و36 هو 1575.

ضرب الأعداد الكبيرة باستخدام الاختصارات

يمكن فهم طريقة احتساب ناتج ضرب الأعداد الكبيرة من خلال هذه الطريقة عن طريق المثال التالي، فلحساب نتيجة ضرب العددين 12 و325 باستخدام طريقة الاختصارات، اتبع الخطوات التالية:[٢]

  • قسّم العدد 12 إلى رقمين يساويان مجموعه وهما 2 و10، ويفضل اختيار الأرقام التي من مضاعفات العشرة في مثل هذه الحالات.
  • اضرب الرقم 325 برقم 10 ويكون الناتج = 3250.
  • اضرب الرقم 325 برقم 2 ويكون الناتج = 650.
  • اجمع الرقم الناتج من العملية الأولى مع الرقم الناتج من العملية الثانية = 3250+650 = 3900، وعليه يكون نتيجة ضرب الرقمين 12 و325 هي 3900.


حيل سريعة في ضرب الأعداد

توجد العديد من الحيل التي تمكنك من ضرب الأعداد بطريقة أسرع وأسهل، من أشهرها:

طريقة ضرب أي رقم صحيح بمضاعفات الرقم 10

يمكن ضرب أي رقم صحيح بمضاعفات الرقم عشرة بطريقة سريعة، إذ نضع عدد الأصفار في العدد الذي يمثل مضاعفات الرقم 10 على اليمين، ونضع الأرقام التي نود ضربها على يسار هذه الأصفار، إذ يكون ناتج ضرب الرقم 678 بالرقم 100 باتباع الخطوات التالية:[٣]

  • ضع عدد الأصفار الموجودة في الرقم 100 أو مضاعفاته، وهي هنا صفرين اثنين على اليمين.
  • ضع الأرقام على 678 على يسار الصفر ويكون الناتج = 67800.

وكذلك إذا ضربنا الرقم 5 بالرقم 10 فإن الناتج يساوي 50.

طريقة ضرب الأرقام العشرية بمضاعفات الرقم 10

يمكن ضرب أي عدد عشري بمضاعفات الرقم عشرة بطريقة سريعة، إذ نحرك الفاصلة الموجودة في الرقم العشري إلى اليمين وفقًا لعدد الأصفار الموجودة في الرقم الذي يمثل أحد مضاعفات الرقم 10، وفيما يأتي أمثلة على ذلك:[٣]

  • مثال (1): يكون ناتج ضرب الرقم 10 بالرقم 0.49 باتباع الخطوات التالية:
    • حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين خطوة واحدة وفقًا لعدد أصفار الرقم 10 والذي يتكون من صفر واحد، وبالتالي نحرك الفاصلة خطوة واحدة إلى اليمين.
    • يكون ناتج ضرب الرقم 10 بالرقم 0.49 = 4.9.
  • مثال (2): يكون ناتج ضرب الرقم 100 بالرقم 2.65 باتباع الخطوات التالية:
    • حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين خطوتين وفقًا لعدد أصفار العدد 100 الذي يتكون من صفرين، وبالتالي نحرك الفاصلة خطوتين إلى اليمين.
    • عوّض الفراغ الناتج عن تحريك الفاصلة في حال عدم وجود رقم بصفر.
    • يكون ناتج ضرب الرقم 100 بالرقم 2.65= 265.

طريقة سهلة لضرب الأعداد من 11-19

لضرب الأعداد من 11-19، نأخذ رقم الآحاد من كل عدد، ومن ثمّ نضربهما معاً في المرّة الأولى ونضع الناتج في خانة الآحاد، ثمّ نجمعهما معاً ونضع الناتج في خانة العشرات، ثمّ نضع الرقم واحد في خانة المئات، وفيما ياتي بعض الأمثلة التي توضح تلك العملية:[٤]

  • مثال (1): 11×13= 1 × 3 = 3، والذي نضعه في خانة الآحاد، 1 + 3 = 4، والذي نضعه في خانة العشرات، ومن ثم نضع الرقم واحد في خانة المئات، إذن الناتج 143.
  • مثال (2): 12×14= 2 × 4 = 8، والذي نضعه في خانة الآحاد، 2 + 4 = 6، والذي نضعه في خانة العشرات، ومن ثم نضع الرقم واحد في خانة المئات، إذن الناتج 168.
  • مثال (3): 13×13= 3 × 3 = 9، والذي نضعه في خانة الآحاد، 3 + 3 = 6، والذي نضعه في خانة العشرات، ومن ثم نضع الرقم واحد في خانة المئات، إذن الناتج 169.

قد يكون ناتج ضرب أو جمع آحاد العددين المضروبين أكبر من 10، ويكون الحلّ برفع رقم العشرات باليدّ تماماً كما نتعامل مع الجمع العادي، وفيما يأتي أمثلة على ذلك:

  • مثال (1): 19×14= 9 × 4 = 36 ( نضع الرقم ستة في آحاد الناتج، أما الرقم ثلاثة فيوضع جانباً )، 9 + 4 = 13 ( نضع الرقم ثلاثة في العشرات بعد إضافة الثلاثة السابقة إليها، ومن ثم نضيف الرقم واحد إلى الرقم واحد الذي نضعه أساسًا في خانة المئات)، إذن الناتج 266.
  • مثال (2): 13×15= 3 × 5 = 15 ( نضع الرقم خمسة في آحاد الناتج، والواحد يُوضع جانباً )، 3 + 5 = 8 ( يُضاف إلى الرقم 8 الرقم واحد الذي وُضع جانبًا)، ومن ثم نضيف الرقم واحد إلى خانة المئات، إذن الناتج 195.


المراجع

  1. ^ أ ب "Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply", quantamagazine, Retrieved 1-1-2020. Edited.
  2. 24-11-2019 ( wikiHow Staff), "How to Do Long Multiplication"، wikihow, Retrieved 1-1-2020. Edited.
  3. ^ أ ب "Multiply and Divide Decimals by 10, 100, and 1000 (powers of ten)", homeschoolmath, Retrieved 1-1-2020. Edited.
  4. "Multiplying teen numbers (between 11 and 19) together in Head", burningmath.blogspot, Retrieved 1-1-2020. Edited.